当前位置:主页 > F与生活 >电磁波的能量 >
电磁波的能量
发表日期:2020-07-25 02:47| 来源 :F与生活| 点击数:306 次

在静电磁学中,我们知道电场与磁场会储存能量,而单位体积所储存的能量称之为「能量密度」(energy density)。在真空中,能量密度与电磁场的关係为:

$$u=\frac{1}{2}(\varepsilon_0E^2+\frac{B^2}{\mu_0})$$

其中 $$u$$ 为能量密度,$$\varepsilon_0$$ ­为真空电容率,$$\mu_0$$ 为真空磁导率。

不过在一般的电磁学下,电磁场不仅能储存能量,还能够传递能量,而描述电磁场的能量、能量传递与带电粒子做功的关係的定理是坡印廷定理(Poynting’s theorem)。此定理可看成一种在电磁场中的能量守恆的叙述,在数学上与流体力学中所谓的连续方程式(continuity equation)相似。

坡印廷定理:在一封闭曲面 $$S$$ 所围出的空间 $$V$$ 中,电磁场单位时间对此空间中的电荷所作的总功,加上单位时间中在空间 $$V$$ 电磁场所储存的能量的变化,会等于能量密度流(坡印廷向量)进入曲面 $$S$$ 的总通量。写成数学式为:

$$\displaystyle\int_V \vec{J}\cdot \vec{E}\mathrm{d}V+\frac{\partial}{\partial t}\int_V u\mathrm{d}V=\oint_S \vec{S}\cdot \mathrm{d}\vec{a}$$

其中向量 $$J$$ 是电流密度,向量 $$E$$ 为电场,$$u$$ 为能量密度,

向量 $$S$$ 坡印廷向量(Poynting vector),在真空中,$$\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times \vec{B}$$

(注:可能有人会困惑为何电磁场单位时间所作功会是电流密度与电场内积后再积分,
其原因如下:电磁场对此空间中的电荷所作的功,
电磁场对电荷作功所施的力为劳伦兹力 $$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$$,
而功率为 $$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v}=(q\vec{v})\cdot\vec{E}$$ ,所以磁场并不会对电荷作功,
故若将电荷表示成电荷密度 $$q\vec{v}\rightarrow \rho\vec{v}\mathrm{d}\tau\rightarrow\vec{J}\mathrm{d}\tau$$ ,则 $$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{dt}}=\int\vec{J}\cdot\vec{E}\mathrm{d}\tau$$ )

可以注意的是,坡印廷定理的推导只用到了作功的定义、马克士威方程式与劳伦兹力,所以坡印廷向量是在推导公式的过程中所得到的,其意义仍待进一步诠释。

不过当我们从物理的角度来看此公式,我们把空间 $$V$$ 中的总力学能设为 $$U_1$$,空间 $$V$$ 中所储存的电磁场能量设为 $$U_2$$,则此系统的总能量 $$U$$ 就是 $$U_1+U_2$$,所以由坡印廷定理,这空间单位时间能量增加的量,会等于坡印廷向量进入曲面 $$S$$ 的总通量,若我们相信能量守恆是对的,则我们可以把坡印廷向量看成是一种能量密度流(单位时间通过单位面积的能量),而其向量所指的方向就是能量流的方向,想像成一系统所增加的总能量,就是单位时间有多少能量从(曲面 $$S$$)外面流进来。

电磁波的能量

图一 (陈义裕 绘)

了解坡印廷定理后就能理解为何电磁波可以传递能量。先考虑在真空中最简单的电磁波(图一),由上面所述真空中坡印廷向量的公式,我们可以发现坡印廷向量所指的方向,就是电磁波前进的方向,所以我们知道电磁波在前进时会传送能量。

从另外一个角度去看,我们知道电磁场会储存能量,所以我们可以预期电磁波中是有储存能量的,当电磁波以光速 $$c$$ 向前传递时,求通过一截面的能量有两个方式,一个是用坡印廷向量去求,另一个是看多少的能量流通过此截面,当然,这两种算法所得到的答案是一样的。

以上述的电磁波为例,设电磁波是往 $$x$$ 轴方向移动,且电磁场大小为

$$E=E_0\sin{(kx-\omega t)},B=E/c$$

则 $$\mathrm{d}t$$ 时间通过 $$x=x_0$$­ 此截面单位面积的能量为

$$\begin{array}{ll} uc\mathrm{d}t&=\epsilon_0cE_0^2\sin^2{(kx_0-\omega t)}\mathrm{d}t\\&=\displaystyle\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}E_0^2\sin^2{(kx_0-\omega t)}\mathrm{d}t\end{array}$$

而若用坡印廷向量,$$\mathrm{d}t$$ 时间通过 $$x=x_0$$­ 此截面单位面积的能量为

$$\begin{array}{ll} \left|\vec{S}\right|\mathrm{d}t &=\displaystyle\frac{1}{\mu_0c}E_0^2\sin^2{(kx_0-\omega t)}\mathrm{d}t\\&=\displaystyle\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}E_0^2\sin^2{(kx_0-\omega t)}\mathrm{d}t\end{array}$$

从上述可知,两者所算出来的能量是一样的。

光是电磁波的一种,因此从生活上,我们也能体会出光是具有能量的,譬如我们能感受到热辐射,过强的光线会伤害眼睛等。

参考文献

相关推荐