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电磁波反射及折射的强度和入射角的函数关係
发表日期:2020-07-25 02:47| 来源 :R稿生活| 点击数:592 次

I. 定义及基本概念

电磁波从一个介质传递到另一个介质时,只有一部分的电磁波会进入新的介质,而剩下的会被介面所反射。进入新介质的电磁波称为折射波,而被反射的称为反射波。在理想情况之下,入射的强度会等于反射和折射强度的总和,但反射和折射强度的相对大小,则和入射角有关。在讨论强度和入射角的关係之前,必须先定义几个名词和物理量。

(a)入射平面:入射波和法线所在的平面称为入射平面。入射波打在介面上后,折射波和反射波也会在入射平面上。

(b)极化方向:电磁波是由交替震荡的电场和磁场所组成,而电场震荡的方向,称为该电磁波的极化方向。

(c)折射率:电磁波在介质中传递速度为 $$v=c/n$$,其中 $$n=\sqrt{\epsilon\mu/\epsilon_0\mu_0}$$ 为该介质的折射率。$$\epsilon$$ 是介质的电容率,$$\mu$$ 是介质的磁导率,而 $$\epsilon_0$$及 $$\mu_0$$ 则为真空中的电容率及磁导率。

(d)假设电磁波从介质1入射到介质2,入射角为 $$\theta_1$$,折射角为 $$\theta_2$$,我们定义一个物理量 $$\alpha$$

$$\displaystyle\alpha=\frac{\cos\theta_2}{\cos{\theta_1}}$$

由司乃耳定律知,入射角及折射角的关係为 $$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$$,

$$n_1$$ 和 $$n_2$$ 分别是介质1和介质2的折射率。所以 $$\alpha$$ 又可以表示成

$$\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{1-[(n_1/n_2)\sin\theta_1]^2}}{\cos\theta_1}$$

(e)定义另一个物理量 $$\beta$$:

$$\beta=\displaystyle\frac{\mu_1n_2}{\mu_2n_1}$$

定义 $$\alpha$$ 及 $$\beta$$ 这两个物理量的好处是可以简化反射和折射的强度公式。

II. 反射及折射强度公式

反射和折射强度的函数形式,和电磁波的极化方向有关,以下分两类讨论:

(a) 极化方向与入射平面平行

所谓极化方向平行入射平面,指的就是电场「躺」在入射平面上。
假射入射波的强度为 $$I_I$$,那幺反射波的强度 $$I_R$$ 则是

$$I_R=\left|\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}\right|^2I_I$$

而折射波的强度 $$I_T$$ 为

$$I_T=\alpha\beta\left|\displaystyle\frac{2}{\alpha+\beta}\right|^2I_I$$

如果 $$n_1=1$$,$$n_2=1.5$$,$$\mu_1=\mu_2=\mu_0$$,那幺,将 $$I_R/I_I$$(反射强度与入射强度比值) 及 $$I_T/I_I$$ (折射强度与入射强度比值) 对入射角 $$\theta_1$$ 作图可得图一(a)。

电磁波反射及折射的强度和入射角的函数关係

图一(a)

图中可以看出,从入射角 $$\theta_1=0$$ 开始,折射波的强度缓慢递增,而反射波强度则缓慢递减,到某一特定角度时,反射波的强度会递减到零,这个角度称为布鲁斯特角,它出现在 $$I_R=0$$ 的瞬间。简单计算后可知,布鲁斯特角 $$\theta_B$$ 满足

$$\sin^2\theta_B=\displaystyle\frac{1-\beta^2}{(n_1/n_2)^2-\beta^2}$$

值得注意的是,布鲁斯特角不一定存在。如果上式等号右边的数值不是介于 $$0$$ 与 $$1$$ 之间,那幺就代表 $$\theta_B$$ 没有解,反射强度永远不会是 $$0$$。然而,对于常见的物质而言,磁导率 $$\mu$$ 的数值大约和真空磁导率 $$\mu_0$$ 相同,在这样的近似下,$$\theta_B$$ 永远有解:

$$\displaystyle\theta_B\approx \tan^{-1}\frac{n_2}{n_1}$$

利用司乃耳定律可以得知,此时折射线和 (消失的)反射线间的夹角刚好是 $$90$$ 度。至于折射线和反射线间夹角成 $$90$$ 度时,反射波为何会消失,可以由电偶极的辐射理论来解释,在此不深入讨论。

由图中我们可以看到,过了布鲁斯特角之后,折射波强度就一路递减到零,代表入射波如果水平地入射到介面上,几乎所有能量都会被介面所反射,造成眩光。

电磁波反射及折射的强度和入射角的函数关係

图一(b)

如果 $$n_1=1.5$$,$$n_2=1$$,$$\mu_1=\mu_2=\mu_0$$,代表入射光从密介质传递到疏介质,在这情况下,如图一(b) 所示,入射角经过布鲁斯特角之后,尚未到达 $$90$$ 度之前,$$I_R/I_I$$ 就递增到最大值 $$1$$,代表所有能量都被介面所反射,这个现象称为全反射,而此时的入射角称为临界角。此时折射波会刚好沿着介面行进,而不会传递能量到介质2。超过临界角之后,$$I_R/I_I$$ 数值仍然维持在 $$1$$ 不变,然而介质2中其实并非完全没有电磁波:介质2中的电磁波一样仍然沿着介面行进,但是深入介质2的厚度开始变浅,这种波称之为衰减波(evanescent wave)。如果继续增加入射角,那幺衰减波在介质2中的厚度就会越来越薄,几乎可以忽略。这些现象没办法从折射强度公式看出来,必须藉由解马克士威方程式才能看出详细的物理现象,所以在此不深入讨论。

(b)极化方向与入射平面垂直

由于极化方向的不同,反射强度和折射强度的公式也不同:

$$I_R=\left|\displaystyle\frac{1-\alpha\beta}{1+\alpha\beta}^2I_I\right|$$

$$I_T=\alpha\beta\left|\displaystyle\frac{2}{1+\alpha\beta}^2I_I\right|$$

电磁波反射及折射的强度和入射角的函数关係

图二(a)

在这个情况之下,如果一样假设 $$n_1=1$$,$$n_2=1.5$$,$$\mu_1=\mu_2=\mu_0$$,则 $$I_R$$ 及 $$I_T$$ 对入射角 $$\theta_1$$ 作图可得图二(a)。从图中可以看到,反射强度一路递增,而折射强度一路递减,中间并没有布鲁斯特角。但严格来说布鲁斯特角还是有可能存在:假设 $$I_R=0$$,可知布鲁斯特角必须满足

$$\cos^2\theta_B=\displaystyle\frac{1-(n_2/n_1)^2}{1-(\mu_2/\mu_1)^2}$$

对于常见的物质而言,$$\mu_1$$ 和 $$\mu_2$$ 数值几乎相同,所以上式等号右边几乎是无穷大,所以 $$\theta_B$$ 通常没有解。从图中也可以看出,当入射角接近九十度时,折射强度趋近于 $$0$$,所以仍然有眩光产生。

电磁波反射及折射的强度和入射角的函数关係

图二(b)

如果 $$n_1=1.5$$,$$n_2=1$$,$$\mu_1=\mu_2=\mu_0$$,代表入射光从密介质传递到疏介质,在这情况下,如图二(b) 所示,在入射角尚未到达 $$90$$ 度时,就会先达到临界角,而发生全反射。发生全反射时,反射强度等于入射强度,而介面2内的折射波开始变成衰减波,其现象跟上一分类所描述的状况相同。


参考文献

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